Question

12．如图，⊙O与Rt△ACB的两直角边AC、BC相切，切点分别为D、E两点，且圆心O在斜边AB上．
（1）试判断以O、D、C、E为顶点的四边形是什么特殊的四边形，并说明理由．
（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，OE，由⊙O与Rt△ACB的两直角边AC、BC相切，可得以O、D、C、E为顶点的四边形是矩形，又由OD=OE，即可得四边形ODCE是正方形；
（2）首先设OD=x，由四边形ODCE是正方形，可证得△AOD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：（1）以O、D、C、E为顶点的四边形是正方形．
理由：连接OD，OE，
∵⊙O与Rt△ACB的两直角边AC、BC相切，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形；

（2）设OD=x，
∵四边形ODCE是正方形，
∴CD=OD=x，OD∥BC，
则AD=AC-CD=6-x，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{x}{8}=\frac{6-x}{6}$，
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴⊙O的半径长为：$\frac{24}{7}$．

点评 此题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．