Question

13．已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，若y是关于m的函数，且y=mx₁+mx₂，求这个函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接求出△=b²-4ac与0的关系即可；
（2）先利用求根公式求出方程的两根，然后把两根代入y=mx₁+mx₂中，再化简即可．

解答 （1）证明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵当m＞0时，（m+2）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式，得x=$\frac{（3m+2）±（m+2）}{2m}$，
∴x=$\frac{2m+2}{m}$或x=1，
∴x₁=1，x₂=$\frac{2m+2}{m}$，
∴y=mx₁+mx₂=m（x₁+x₂）=m（$\frac{3m+2}{m}$）=3m+2，
即y=3m+2为所求．

点评 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义的知识，解答（1）需要掌握根与△=b²-4ac的关系，解答（2）需要利用求根公式用m表示出方程的根，此题难度不大．