Question

18．已知点A（0，2），B（-1，0），C（2，0），P为线段AO上一动点．
（1）求AP+$\sqrt{2}$BP的最小值及点P的坐标；
（2）求AP+$\sqrt{5}$CP的最小值及点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，将线段BP绕点B顺时针旋转90得到相等BE，作EM⊥y轴于M，BF⊥ME于F．由△BOP≌△BFE，推出OB=BF=OM=1，所以点P在运动时，点E在直线y=-1时运动，因为PA+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，属于欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，所以当点E与点M重合时，根据垂线段最短，可知AP+PE的最小值=AM．
（2）如图2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，连接PE，则PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x轴于F．由△POC∽△CFE，推出$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，由OC=2，推出EF=OM=4，所以点P运动时，点E在直线y=-4上运动，所以AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，所以当E与M重合时，AP+$\sqrt{5}$PC的最小值为线段AM的长．

解答 解：（1）如图1中，将线段BP绕点B顺时针旋转90得到相等BE，作EM⊥y轴于M，BF⊥ME于F．

∵∠BFM=∠FMO=∠BOM=90°，
∴四边形OBFM是矩形，
∴∠OBF=∠PBE=90°，
∴∠PBO=∠FBE，
在△BOP和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBO=∠FBE}\\{∠BOP=∠BFE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△BFE，
∴OB=BF=OM=1，
∴点P在运动时，点E在直线y=-1时运动，
∵PE=$\sqrt{2}$PB，
∴PA+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，
∴欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，
∴当点E与点M重合时，根据垂线段最短，可知AP+PE的最小值=AM=OA+OM=3，
∴AP+$\sqrt{2}$BP的最小值为3，此时点P的坐标为（0，1）．

（2）如图2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，连接PE，则PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x轴于F．

∵∠PCO+∠ECF=90°，∠ECF+∠FEC=90°，
∴∠PCO=∠FEC，∵∠POC=∠EFC=90°，
∴△POC∽△CFE，
∴$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，∵OC=2，
∴EF=OM=4，
∴点P运动时，点E在直线y=-4上运动，
∴AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，
∴当E与M重合时，AP+$\sqrt{5}$PC最小值为线段AM的长，
∴AP+$\sqrt{5}$CP的最小值为6，此时点P的坐标为（0，1）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形或相似三角形，把问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．