Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的高，AF平分∠CAB交CE于点F，过点F作FD∥CB交AB于点D．求证：AC=AD．

Answer 1

分析 由平行的性质和直角三角形的性质可证明∠ADF=∠B=∠ACF，结合角平分线的定义可证明△ACF≌△ADF，可证得AC=AD．

解答 证明：∵FD∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACF+∠ECB=∠ECB+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF，
在△ACF和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠DAF}\\{∠ACF=∠ADF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADF（AAS），
∴AC=AD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．