Question

6．如图，在△ABC中，∠ABE=2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E
（1）若∠C=30°，求证：AB=2BE．
（2）若∠C≠30°，求证：BE=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

Answer 1

分析 （1）由BE⊥AD，得到∠AEB=90°，根据已知条件得到∠ABE=60°，根据三角形的内角和得到∠BAE=30°，根据直角三角形的性质即刻得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AB=AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE=∠ABE=2∠C，根据三角形外角的性质得到∠C=∠CBF，得到BF=CF，于是得到结论．

解答 解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=2∠C，∠C=30°，
∴∠ABE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，
∴AB=AF，
∴∠AFE=∠ABE=2∠C，
∵∠AFE=∠C+∠CBF，
∴∠C=∠CBF，
∴BF=CF，
∵BF=2BE，
∴CF=AC-AB=BE=2BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．