Question

12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90度，AB=AD，若这个四边形的面积为24，则AC的长是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥DC，作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，利用三个角为直角的四边形为矩形得到AECF为矩形，利用矩形的四个角为直角得到∠EAF为直角，利用等式的性质得到∠BAF=∠DAE，再由一对直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ADE与三角形ABF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=AF，可得出四边形AECF为正方形，三角形ADE面积与三角形AFB面积相等，进而得到四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形的边长即为AE的长，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的长．

解答 解：过A作AE⊥DC，作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，

∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠EAB=∠FAB+∠EAB=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠F=90°}\\{∠BAF=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（AAS），
∴AE=AF，S_△ABE=S_△ADF，
∴四边形AECF是正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}=24cm²，
∴AE=2$\sqrt{6}$cm，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{3}$cm．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．