Question

2．已知一次函数y₁=x+5的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，已知点A的横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并直接写出当y₁＜y₂时x的取值范围；
（3）当x＞1时，在反比例图象上有一点C，使得△ABC的面积为21，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线y₁=x+5的图象上，可求出点A的纵坐标，结合点A的坐标以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论；
（2）将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中得到关于x的一元二次方程，解方程即可求出点B的横坐标，将其代入到反比例函数解析式中即可求出点B的坐标；结合两函数图象即可得出当y₁＜y₂时x的取值范围；
（3）过点C作CD∥y轴交直线AB于点D，设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），则点D的坐标为（m，m+5），根据S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=21即可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出m的值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）令一次函数y₁=x+5中x=1，
则y₁=1+5=6，
∴k=x•y₁=1×6=6．
∴反比例函数的解析式为y₂=$\frac{6}{x}$．
（2）将y₁=x+5代入到y₂=$\frac{6}{x}$中得：
x+5=$\frac{6}{x}$，即x²+5x-6=0，
解得：x₁=-6，x₂=1．
当x=-6时，y₂=$\frac{6}{-6}$=-1．
∴点B的坐标为（-6，-1）．
结合函数图象可知：
当x＜-6或0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴当y₁＜y₂时x的取值范围为x＜-6或0＜x＜1．
（3）过点C作CD∥y轴交直线AB于点D，如图所示．
设点C的坐标为（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），则点D的坐标为（m，m+5）．
∵点A（1，6），点B（-6，-1），
∴S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（m+5-$\frac{6}{m}$）[m-（-6）-（m-1）]=21，
整理得：m²-m-6=0，
解得：m=3或m=-2（舍去），
经检验m=3是原方程的解，
∴点C的坐标为（3，2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数系数k的几何意义、两点间的距离公式、三角形的面积公式以及解分式方程，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）解关于x的一元二次方程求出点B的横坐标；（3）解关于m的方程求出m的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，解该方程求出交点坐标是关键．