Question

11．如图1，已知抛物线y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线解析式进行配方即可得出顶点D的坐标；
（2）作点C（0，-3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．再根据两点间的距离公式求出CD、DC″的长度，即可得出结论；
（3）按点M的位置不同分两种情况考虑：①点M在直线y=x-3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标；②点M在直线y=-x-3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标．综合两种情况即可得出结论．

解答 解：（1）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中y=0，则$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x²-2x）-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴D（1，-$\frac{27}{8}$）．
（2）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）．
D（1，-$\frac{27}{8}$），O′B′=OB=4．
如图1，作点C（0，-3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．
此时C_{四边形O′B′DC}=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″．
∵O′B′=4，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（-3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$，C″D=$\sqrt{（4-1）^{2}+（3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{353}}{8}$，
∴四边形O′B′DC的周长最小值为4+$\frac{\sqrt{73}}{8}$+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．
（3）△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图2）：
①过点C作直线y=x-3交抛物线于点M，
联立直线CM和抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{14}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍去），
∴M（$\frac{14}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，-3），
∴点N的坐标为（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{19}{3}$）；
②过点C作直线y=-x-3交抛物线于点M，
联立直线CM和抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍去），
∴M（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，-3），
∴点N的坐标为（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．
综上可知：当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，点N的坐标为（0，$\frac{5}{3}$）、（0，$\frac{19}{3}$）、（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了解一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及二元二次方程组，解题的关键是：（1）令y=0求出A、B点的横坐标；（2）找出四边形O′B′DC的周长最小时点B′的位置；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．