Question

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，若沿BD折叠梯形ABCD，点A恰好与边DC上的点E重合．
（1）判断四边形ABED是什么特殊四边形？证明你的结论；
（2）当梯形ABCD满足什么条件时，DB⊥BC？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE，根据翻折变换的性质得到∠ADB=∠BDE，证明四边形ADEB是平行四边形，根据翻折变换的性质得到DA=DE，根据菱形的判定定理证明即可；
（2）根据直角三角形的判定定理证明即可．

解答 解：（1）四边形ABED是菱形，
理由如下：∵AB∥DC，
∴∠ABD=∠BDE，
由翻折变换的性质可知，∠ADB=∠BDE，AD=DE，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∴AB=DE，又AB∥DC，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∵DA=DE，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）当梯形ABCD满足∠C=∠B=60°时，DB⊥BC，
证明：∵∠C=∠B=60°，
∴AD=BC，
∵AD=BE，
∴BC=BE，又∠C=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BE=EC，又DE=BE，
∴∠DBC=90°，即DB⊥BC．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、直角三角形的性质、等腰梯形的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．