Question

如图，矩形ABCD中，AB=8厘米，BC=12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，△PBQ的面积等于12厘米²；
（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一元二次方程的应用,矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）根据三角形的面积公式求出即可；
（2）分为两种情况：证相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）由题意得：

1

2

×BQ×BP=12，
即

1

2

•2x•（8-x）=12，
整理得：x²-8x+12=0，
解得：x=2或6，
即当x为2或6时，△PBQ的面积等于12厘米²；

（2）
①当∠1=∠2时，由∠PBQ=∠BCD=90°，
所以△QBP∽△BCD，
则

PB

DC

=

BQ

BC

，
即

8-x

8

=

2x

12

，
解得：x=

24

7

；
②当∠1=∠3时，由∠PBQ=∠BCD=90°，
所以△PBQ∽△BCD，
所以

PB

BC

=

BQ

DC

，
即

8-x

12

=

2x

8

，
解得：x=2；
即x=

24

7

或x=2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目．