题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P在AD上且AP=1．将一块三角尺顶点放在点P处，三角尺的两直角边分别交AB、BC于点E、F．（1）当点F与点C重合时，
| AP |
| AE |
（2）探究：将三角尺从图中的位置开始，绕点p顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，设CF=m．试解答：
①用含m的代数式表示四边形BEPF的面积，并写出m的取值范围；
②连结BD，交线段PF于点G，当△PDG是直角三角形时，求m的值．
考点：四边形综合题
专题：综合题
分析：（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=90°，则可根据等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，于是根据三角形相似的判定得到Rt△APE∽Rt△DCP，利用相似比可得到
的值；
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，与（1）的证明方法一样可得Rt△APE∽Rt△HFP，利用相似比得到AE=
（3-m），然后根据三角形面积公式和四边形BEPF的面积=S矩形ABFH-S△AEP-S△PHF计算得到四边形BEPF的面积=-
m+
，由于当点E和点A重合时，PF⊥BC，FC最大，此时CF=3，则m的取值范围为0≤m≤3；
②分类讨论：当∠PGD=90°时，易得PE∥BD，根据三角形相似的判定方法得△AEP∽△ABD，利用相似比得
=
，解得m=2；当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3．
| AP |
| AE |
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，与（1）的证明方法一样可得Rt△APE∽Rt△HFP，利用相似比得到AE=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 17 |
| 4 |
②分类讨论：当∠PGD=90°时，易得PE∥BD，根据三角形相似的判定方法得△AEP∽△ABD，利用相似比得
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AED+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴Rt△APE∽Rt△DCP，
∴
=
，
∴
=
=
=
；
故答案为
；
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，
与（1）一样可证明Rt△APE∽Rt△HFP，
∴
=
，即
=
，
∴AE=
（3-m），
∴四边形BEPF的面积=S矩形ABFH-S△AEP-S△PHF
=2（4-m）-
×1×
（3-m）-
×2×（3-m）
=-
m+
，
∵当点E和点A重合时，PF⊥BC，
∴此时CF=3，
∴m的取值范围为0≤m≤3；
②当∠PGD=90°时，
∵∠EPF=∠PGD，
∴PE∥BD，
∴△AEP∽△ABD，
∴
=
，即
=
，
∴m=2；
当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3，
∴当△PDG是直角三角形时，m的值为2或3．
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AED+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴Rt△APE∽Rt△DCP，
∴
| AP |
| DC |
| AE |
| PD |
∴
| AP |
| AE |
| DC |
| PD |
| 2 |
| 4-1 |
| 2 |
| 3 |
故答案为
| 2 |
| 3 |
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，
与（1）一样可证明Rt△APE∽Rt△HFP，
∴
| AP |
| HF |
| AE |
| PH |
| 1 |
| 2 |
| AE |
| 4-1-m |
∴AE=
| 1 |
| 2 |
∴四边形BEPF的面积=S矩形ABFH-S△AEP-S△PHF
=2（4-m）-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-
| 3 |
| 4 |
| 17 |
| 4 |
∵当点E和点A重合时，PF⊥BC，
∴此时CF=3，
∴m的取值范围为0≤m≤3；
②当∠PGD=90°时，
∵∠EPF=∠PGD，
∴PE∥BD，
∴△AEP∽△ABD，
∴
| AE |
| AB |
| AP |
| AD |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴m=2；
当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3，
∴当△PDG是直角三角形时，m的值为2或3．
点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质；会运用相似比求线段的长；能利用面积的和差求不规则图形的面积．
练习册系列答案
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