题目内容
6．已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）
∴$\frac{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}{？}$． 订正：∴△ABC是直角三角形．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
分析 根据观察可知：不能只是c2=a2+b2．若a2-b2=0，就不会得出c2=a2+b2；若a2-b2≠0，可得出c2=a2+b2；显然，此题需分类讨论．
解答 解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）
∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，
∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，
∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0．故a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
点评 本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
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18．
如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠CBE，AD：DE=3：5，BD=4，则DC的长等于（ ）
如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠CBE，AD：DE=3：5，BD=4，则DC的长等于（ ）| A． | $\frac{15}{4}$ | B． | $\frac{12}{5}$ | C． | $\frac{20}{3}$ | D． | $\frac{17}{4}$ |
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