Question

18．有一组按规律排列的单项式：-x，$\frac{{x}^{2}}{2}$，-$\frac{{x}^{3}}{3}$，$\frac{{x}^{4}}{4}$，…．
（1）它们的规律是什么？
（2）写出第100个，第2011个单项式．
（3）写出第2n个，第2n+1个单项式．

Answer 1

分析 （1）观察分子、分母以及分式本身的符号来寻找规律；
（2）（3）根据（1）中的规律解题．

解答 解：（1）-x=（-1）¹•$\frac{{x}^{1}}{1}$，
$\frac{{x}^{2}}{2}$=（-1）²•$\frac{{x}^{2}}{2}$，
-$\frac{{x}^{3}}{3}$=（-1）³•$\frac{{x}^{3}}{3}$，
$\frac{{x}^{4}}{4}$=（-1）⁴•$\frac{{x}^{4}}{4}$，
…
第n个单项式为：（-1）ⁿ•$\frac{{x}^{n}}{n}$；

（2）由（1）知，第n个单项式为：（-1）ⁿ•$\frac{{x}^{n}}{n}$．
则第100个单项式：（-1）¹⁰⁰•$\frac{{x}^{100}}{100}$=$\frac{{x}^{100}}{100}$．
第2011个单项式：（-1）²⁰¹¹•$\frac{{x}^{2011}}{2011}$=-$\frac{{x}^{2011}}{2011}$．

（3）第2n个单项式：（-1）²ⁿ•$\frac{{x}^{2n}}{2n}$=$\frac{{x}^{2n}}{2n}$．
第2011个单项式：（-1）^（2n+1）•$\frac{{x}^{2n+1}}{2n+1}$=-$\frac{{x}^{2n+1}}{2n+1}$．

点评 本题考查了单项式．根据所给的单项式找到规律是解题的难点．