Question

11．如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果S_△ADF=S_△CDE=1，S_△BEG=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 过C作CH⊥AB于H，交DE于M，设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，由于S_△CDE=$\frac{1}{2}$bh=1，S_△AFD=$\frac{1}{2}$ab=1，于是得到a=h，CH=h+b=a+b，根据S_△BEG=$\frac{1}{2}$BG•b=3，得到GB=3a，于是求出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$（a+b+3a）（a+b）=b²+5，由于ab=2，于是求得2a²+$\frac{1}{2}$b²=b²，通过化简即可得到结论．

解答 解：过C作CH⊥AB于H，交DE于M，设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$bh=1，S_△AFD=$\frac{1}{2}$ab=1，
∴a=h，∴CH=h+b=a+b，
∵S_△BEG=$\frac{1}{2}$BG•b=3，
∴GB=3a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$（a+b+3a）（a+b）=b²+5，
∵ab=2，
∴2a²+$\frac{1}{2}$b²=b²，
∴b=2a，
∴$\frac{1}{2}$bb=2，
∴b²=4，
∴S_△ABC=b²+5=9．

点评 本题考查了三角形的面积直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．