Question

1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点O是BC中点，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且OD⊥OE，说明OD=OE．

Answer 1

分析 连接AO，根据等腰直角三角形的性质可得AO=CO，∠CAO=45°，∠ACB=45°，再求出∠OAD=∠OCE=135°，根据同角的余角相等求出∠AOD=∠COE，然后利用“角边角”证明△AOD和△COE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，连接AO，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AO=CO，∠CAO=45°，∠ACB=45°，
∴∠OAD=∠OCE=135°，
∵OD⊥OE，
∴∠COD+∠COE=90°，
又∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△AOD和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．