Question

10．如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是$\sqrt{61}$-6cm．

Answer 1

分析 由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），作MF⊥AB于F，证△AMF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到MF，根据勾股定理得到AF，BF，BM，于是得到结论．

解答 解：如图，

由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴$\frac{MF}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{MF}{5}$=$\frac{6}{13}$，得MF=$\frac{30}{13}$，
∴AF=$\sqrt{A{M}^{2}-M{F}^{2}}$=$\frac{72}{13}$，
则BF=AB-AF=$\frac{97}{13}$，
∴BM=$\sqrt{M{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∵ME=6，
∴BE长度的最小值BE′=BM-ME′=$\sqrt{61}$-6，
故答案为：$\sqrt{61}$-6．

点评 本题主要考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点是解题的关键．