Question

20．（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．
（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？

Answer 1

分析 （1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的关系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的关系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的关系，进而得出结论；
（2）列出∠A、∠ABC、∠ACE的关系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的关系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的关系，进而得出结论．

解答 解：（1）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A+90°．
理由如下：
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴∠BOC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°．
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：
∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）
=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．