Question

9．观察下面的变形规律，解答下列的问题：
①在横线上填上适当的数，使得等式的左右两边相等
$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）；$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）；
②若n为正整数，试猜想$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；
③根据上面的结论计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2015×2017}$．

Answer 1

分析 ①两个连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，据此可得；
②根据①中规律解答即可；
③利用②中结论列项相消求解可得．

解答 解：①$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）；$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；

$②\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故答案为：$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；

③原式=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+…+（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}）]$
 
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2017}）$
 
=$\frac{1}{2}×\frac{2016}{2017}=\frac{1008}{2017}$．

点评 本题主要考查数字的变换规律，根据已知等式发现两个连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半是解题的关键．