Question

14．如图，在等边△ABC中，点E、F分别在AB、BC边上，且AE=BF=$\frac{1}{3}$AB，连接AF、CE交于点G，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，连接DG，且DG=6$\sqrt{7}$，过点D作∠CDG的角平分线交CB于M，则四边形DGFM的面积是77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 先证△ACE≌△ABF得∠ACE=∠BAF，由∠CGF=∠CAG+∠ACE=∠CAG+∠BAF=∠BAC=∠ADC=60°知点A、D、C、G四点共圆，得∠AGD=∠ACD=60°，∠DGC=∠DAC=60°，作FK⊥AB于点K，设BK=t，则AE=BF=$\frac{BK}{cosB}$=2t，FK=$\sqrt{3}$t，AB=3BF=6t、AK=5t、AF=2$\sqrt{7}$t，证△AGE∽△ABF得AG=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$t，作AP⊥DG，得PG=AGcos∠AGD=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t、AP=AGsin∠AGD=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t、PD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t，由DG=PD+PG可得t=$\frac{7}{3}$，即可知AD=14，AF=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，AP=$\sqrt{21}$，延长DM、AF交于点N，证BC∥AD、FM=FN得AD=AN=14、FM=FN=AN-AF=14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，作BQ⊥DA交DA延长线于点Q，则BQ=ABsin∠BAQ=7$\sqrt{3}$，最后根据S_{四边形DGFM}=S_梯形ADMF-S_△ADG可得答案．

解答 解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAE=∠BAF=60°，
在△ACE和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF，
∴∠ACE=∠BAF，
∴∠CGF=∠CAG+∠ACE=∠CAG+∠BAF=∠BAC=∠ADC=60°，
∴点A、D、C、G四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD=60°，∠DGC=∠DAC=60°，
作FK⊥AB于点K，
设BK=t，则AE=BF=$\frac{BK}{cosB}$=$\frac{t}{cos6{0}^{°}}$=2t，FK=$\sqrt{B{F}^{2}-B{K}^{2}}$=$\sqrt{3}$t，
∴AB=3BF=6t，AK=AB-BK=5t，AF=$\sqrt{A{K}^{2}+F{K}^{2}}$=2$\sqrt{7}$t，
∵△ACE≌△ABF，
∴∠AEG=∠AFB，
∵∠GAE=∠BAF，
∴△AGE∽△ABF，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AG}{6t}=\frac{2t}{2\sqrt{7}t}$，
则AG=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$t，
作AP⊥DG于点P，
∴PG=AGcos∠AGD=$\frac{6\sqrt{7}}{7}t$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t，AP=AGsin∠AGD=$\frac{6\sqrt{7}}{7}t$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t，
则PD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t，
由DG=PD+PG可得$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t+$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t=6$\sqrt{7}$，
解得t=$\frac{7}{3}$，
则AD=6t=14，AF=2$\sqrt{7}$t=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，AP=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t=$\sqrt{21}$，
延长DM、AF交于点N，
∵∠GDN=∠CDM、∠DCM=∠DGN=120°，
∴∠FMN=∠DMC=∠N，
∴FM=FN，
又∵∠ACB=∠CAD=60°，
∴BC∥AD，
∴∠FMN=∠ADN=∠N，
∴AD=AN=14，
∴FM=FN=AN-AF=14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，
作BQ⊥DA交DA延长线于点Q，
则BQ=ABsin∠BAQ=14×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形DGFM}=S_梯形ADMF-S_△ADG
=$\frac{1}{2}$×（14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$+14）×7$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{7}$×$\sqrt{21}$
=77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$，
故答案为：77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题主要考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆的条件等知识点的综合运用，熟练掌握、灵活运用这些知识点是解题的关键．