Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若AB=4，DE=1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）求出弧BC=弧CD，推出∠DAC=∠BAC=∠OCA，推出AE∥OC，推出∠OCE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）得出矩形CMDE，推出CM=ED=2，求出BM，分别求出扇形BOC和三角形BOC的面积，即可求出答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵BC=DC
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AE，
∴∠OCF=∠E，
∵EC⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CE与⊙O相切；

（2）解：连接BD、OD、OC，BD交OC于M，
∵弧BC=弧CD，
∴OC⊥BD，
∴∠OMB=90°，
∵∠E=∠EDB=∠ECO=90°，
∴四边形CMDE是矩形，
∴DE=CM=1，
∵AB=4，
∴OB=OC=2，
∴OM=2-1=1，
∴cos∠BOM=

OM

OB

=

1

2

，
∴∠BOC=60°，
在Rt△BMO中，由勾股定理得：BM=

3

，
∴图中阴影部分的面积S=

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形，扇形的面积，垂径定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．