Question

二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，

1

4

）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax²，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，

1

4

x²），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．

解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax²，
将点A（1，

1

4

）代入y=ax²得：a=

1

4

，
∴二次函数的解析式为y=

1

4

x²；

（2）证明：∵点P在抛物线y=

1

4

x²上，
∴可设点P的坐标为（x，

1

4

x²），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=

1

4

x²-1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF=

( 1 4 x2-1)2+x2

=

1

4

x²+1，
∵PM⊥直线y=-1，
∴PM=

1

4

x²+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；

（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴

1

4

x²+1=4，
解得：x=±2

3

，
∴

1

4

x²=

1

4

×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．