Question

17．如果关于x的方程x²+kx+$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$=0的两个实数根分别为x₁，x₂，那么$\frac{{{x}_{1}}^{2014}}{{{x}_{2}}^{2015}}$的值为（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 先根据方程有实数根，利用根的判别式可得k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，求出求k的值，再把k的值代入方程，再解方程可得x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，进而可求$\frac{{{x}_{1}}^{2014}}{{{x}_{2}}^{2015}}$的值．

解答 解：根据题意可得
∵方程有实数根，
∴△=b²-4ac≥0，
即k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，
∴-2（k-3）²≥0，
∵（k-3）²≤0，
∴k-3=0，
即k=3，
∴原方程为：x²+3x+$\frac{9}{4}$=0，
∴x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2014}}{{{x}_{2}}^{2015}}$=（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）²⁰¹⁴•$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$；
故选D．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解方程，解题的关键是根据根的判别式先求出k．