Question

17．已知P是反比例函数y=$\frac{1}{n（n+1）x}$图象上的点（n为正整数），过P_n作x轴的垂线，垂足为M_n，连接OP_n，设△OP_nM_n的面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4032}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数系数k的几何意义分别表示出S₁、S₂、S₃、…S₂₀₁₅，进行计算即可．

解答 解；∵P是反比例函数y=$\frac{1}{n（n+1）x}$图象上的点（n为正整数），
n=1时，y=$\frac{1}{2x}$，则S₁=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$，
n=2时，y=$\frac{1}{6x}$，则S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{6}$，
n=3时，y=$\frac{1}{12x}$，则S₃+=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{12}$，
…
n=2015时，则y=$\frac{1}{2015×2016x}$，S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2015×2016}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2015}{2016}$
=$\frac{2015}{4032}$，
故答案为$\frac{2015}{4032}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，分别表示出三角形的面积，根据代数式的规律即可求得．