Question

11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（9，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线交x轴于点C，求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（3）若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB，则可确定⊙M的半径为；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，可解得OC，则可求得C点坐标为，最后运用待定系数法确定抛物线的解析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，利用相似三角形的性质可求得ND，进一步可求得OD、ON，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用相似三角形的性质可求得AN，进一步可求得BN，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出NE，最后由OE=ON+NE计算即可．

解答 解：
（1）∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵A（9，0），B（0，6），
∴OA=9，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴⊙M的半径为$\frac{3\sqrt{13}}{2}$；
∵A（9，0），B（0，6），
∴圆心M的坐标为（$\frac{9}{2}$，3）；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图1，

∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OA}{OB}$，即$\frac{6}{OC}$=$\frac{9}{6}$，解得OC=4，
∴C点坐标为（-4，0），
设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C三点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{81a+9b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+6；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图2，

∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（9-ND）：9，解得ND=$\frac{18}{5}$，
∴OD=$\frac{18}{5}$，ON=$\sqrt{2}$ND=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$，
∴N点坐标为（$\frac{18}{5}$，$\frac{18}{5}$）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即$\frac{18}{5}$：6=AN：3$\sqrt{13}$，解得AN=$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，
∴BN=3$\sqrt{13}$-$\frac{9\sqrt{13}}{5}$=$\frac{6\sqrt{13}}{5}$，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即$\frac{6\sqrt{13}}{5}$：NE=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$：$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，解得NE=$\frac{39\sqrt{2}}{10}$，
∴OE=ON+NE=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$+$\frac{39\sqrt{2}}{10}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题为圆的综合应用，涉及切线的性质、圆周角定理及其推论、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点．在（1）中确定出AB为直径是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质求得点C的坐标是解题的关键，在（3）中构造相似三角形分别求得ON、NE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度很大．