Question

16．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°．
（1）如图（1），写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图（2），图（3）的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图（1），当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=$\sqrt{3}$BF？请写出探究结果，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BPF=∠EBF=60°，再结合公共角即可得出结论；
（2）同（2）的方法即可得出结论；
（3）先判断出∠BEF=30°，再利用锐角三角函数即可得出结论．

解答 解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
（2）成立，△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
（3）当BD平分∠ABC时，EF=$\sqrt{3}$BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°，
∵∠BPF=60°，∠BFP=90°，
∴∠BEF=60°-30°=30°，
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，
∴tan60°=$\frac{EF}{BF}$，
即：EF=$\sqrt{3}$BF．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，锐角三角函数的意义，解本题的关键是求出∠EBF=60°，是一道比较简单的题目．