Question

1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C．已知A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y₂）．
（1）求点P的坐标；
（2）求三角形OAB的面积；
（3）在x轴上找到一点H，使HA+HB的值最小，求出符合条件的点H的坐标及HA+HB的值的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据S_△OAB=S_△OAP-S_△OBP计算即可．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于H，连接BH，参数AH+HB的值最小．求出直线AB′的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）把A（1，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，得到k=3，
当x=3时，y=1，
∴B（3，1），
设直线AB的解析式为y=ax+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
令y=0，得到x=4，
∴P（4，0）．

（2）S_△OAB=S_△OAP-S_△OBP=$\frac{1}{2}$•4•3-$\frac{1}{2}$•4•1=4．

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于H，连接BH，参数AH+HB的值最小．
设直线AB′的解析式为y=mx+n，则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+5，令y=0得到，x=$\frac{5}{2}$，
∴H（$\frac{5}{2}$，0），
AH+BH的最小值=AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（3+1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质、最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．