Question

17．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；
（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC=70°，求∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠AIB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ADI=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB即可；
（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BAI+∠ABI=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴在△ABI中，∠AIB=180°-（∠BAI+∠ABI）
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACB）
=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CI平分∠ACB，
∴∠DCI=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵DI⊥IC，
∴∠DIC=90°，
∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠AIB=∠ADI．

（2）①解：结论：DI∥CF．
理由：∵∠IDC=90°-∠DCI=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IDC=∠ACF，
∴DI∥CF．

②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，
∵∠FCE=∠FBC+∠F，
∴∠F=∠FCE-∠FBC，
∵∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=35°

点评 本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．