Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC沿射线CA方向平移，平移后顶点C到达点A处，得到△EFA．
（1）若平移过程中△ABC扫过的图形面积是9，求△ABC的面积；
（2）连接BE交AF于点D，试说明BE⊥AF于点D．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，利用平行四边形的判定方法可得到四边形AEFB是平行四边形，则S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC，然后利用四边形BCEF的面积=3S_△ABC进行计算；
（2）由于AB=AC，而AE=AC，则AB=AE，利用（1）中证得的四边形AEFB是平行四边形，根据菱形的判定方法有四边形AEFB是菱形，然后根据菱形的性质得到AF与BE互相垂直平分即可求解．

解答 解：（1）连结BF，
∵将△ABC沿CA的方向平移CA的长，得△EFA，
∴AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC，
∵△ABC扫过的图形面积是9，
∴△ABC的面积=3；

（2）AF与BE互相垂直平分．理由如下：
∵AB=AC，
而AE=AC，
∴AB=AE，
∵四边形AEFB是平行四边形，
∴四边形AEFB是菱形，
∴BE⊥AF于点D．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：四边相等的四边形为菱形；邻边相等的平行四边形为菱形；菱形的对角线互相垂直平分，且对角线平分对角．也考查了平行四边形的判定与性质以及平移的性质．