Question

9．已知：如图，在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=15cm，CE=8cm，求?ABCD的周长和面积．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=17．根据等腰三角形的性质得到AB=CD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．

解答 解：（1）∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴△EBC是直角三角形，
根据勾股定理：BC=17，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∵∠ECD=∠ECB，
∴∠DEC=∠ECD，
∴DE=CD，
同理AB=AE．
∴AB+CD=AE+DE=AD=BC=17，
∴平行四边形ABCD周长=BC+AD+AB+CD=17+17+17=51．
（2）如图，作EH⊥BC，垂足为H．
S_△BEC=$\frac{1}{2}$×15×8=60，
又∵S_△BEC=$\frac{1}{2}$×BC×EH，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC×EH=2S_△BEC=120．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．