Question

18．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为|x₁-x₂|表示在数轴上数x₁与数x₂对应的点之间的距离；

例1．解方程|x|=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|=2的解为x=±2．
例2．解不等式|x-1|＞2．在数轴上找出|x-1|=2的解（如图1），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为-1或3，所以方程|x-1|=2的解为x=-1或x=3，因此不等式|x-1|＞2的解集为x＜-1或x＞3．
例3．解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和-2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和-2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在1的右边或-2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x=2；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，因此方程|x-1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为x=1或x=-7；
（2）解不等式：|x-3|≥5；
（3）解不等式：|x-3|+|x+4|≥9．

Answer 1

分析 （1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7求解即可；
（2）先求出|x-3|=5的解，再求|x-3|≥5的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解，即可得出不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集．

解答 解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7，
∴方程|x+3|=4的解为x=1或x=-7．
（2）在数轴上找出|x-3|=5的解．
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为-2或8，
∴方程|x-3|=5的解为x=-2或x=8，
∴不等式|x-3|≥5的解集为x≤-2或x≥8．
（3）在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和-4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上3和-4对应的点的距离为7，
∴满足方程的x对应的点在3的右边或-4的左边．
若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在-4的左边，可得x=-5，
∴方程|x-3|+|x+4|=9的解是x=4或x=-5，
∴不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤-5．

点评 本题主要考查了绝对值及不等式的知识，解题的关键是理解|x₁-x₂|表示在数轴上数x₁与数x₂对应的点之间的距离．