Question

20．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先证明△BPD∽△CQP，得出$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CQ}$，求出CQ=$\frac{1}{2}$x（m-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，由二次函数得出当x=$\frac{1}{2}$m时，CQ取最大值，最大值为$\frac{1}{8}$m²，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，得出$\frac{1}{8}$m²≤4，因此0＜m≤4$\sqrt{2}$，即可得出答案．

解答 解：设BP=x，则PC=m-x，∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DPQ=∠B，
∴∠C=∠DPQ，
∵∠PQC=180°-∠QPC-∠C，∠BPD=180°-∠DPQ-∠QPC，
∴∠PQC=∠BPD，
∴△BPD∽△CQP，
∴$\frac{BD}{CP}=\frac{PB}{CQ}$，即$\frac{2}{m-x}=\frac{x}{CQ}$，
∴CQ=$\frac{1}{2}$x（m-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，
当x=$\frac{1}{2}$m时，CQ取最大值，最大值为$\frac{1}{8}$m²，
要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，
∴$\frac{1}{8}$m²≤4，
∴m²≤32，
∴0＜m≤4$\sqrt{2}$，
∴m的最大值为4$\sqrt{2}$；
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及二次函数的最大值问题；证明三角形相似是解决问题的关键．