题目内容

15．定义：长宽比为$\sqrt{n}$：1（n为正整数）的矩形称为$\sqrt{n}$矩形．
（1）如图1所示，将一张矩形纸片ABCD进行如下操作：将点C沿着过点D的直线折叠，使折叠后的点C落在边AD上的点E处，折痕为DF，通过测量发现DF=AD，则矩形ABCD是$\sqrt{2}$矩形吗？请说明理由．
（2）我们可以通过折叠的方式折出一个$\sqrt{2}$矩形，如图2所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．所得四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形，请说明理由．

分析 （1）根据四边形ABCD是$\sqrt{2}$矩形的定义，只要证明AD=$\sqrt{2}$CD即可．
（2）设正方形ABCD的边长为1，求出BF的长即可解决问题．

解答 解：（1）四边形ABCD是$\sqrt{2}$矩形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDC=∠DEF=∠C=90°，
∵DE=DC，
∴四边形CDEF是正方形．
∴DF=$\sqrt{2}$DC，∵AD=DF
∴AD=$\sqrt{2}$DC，
∴矩形ABCD是$\sqrt{2}$矩形．
（2）设正方形ABCD的边长为1，则$BD=\sqrt{2}$．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE，
∴EF∥AD，
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{BF}{1}$，
∴BF=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
∴BC：BF=1：$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$：1，
∴四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．

点评 本题考查矩形、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，欲证明四边形是$\sqrt{2}$矩形，只要证明这个四边形的长、宽之比为$\sqrt{2}$，属于中考常考题型．

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