Question

3．已知抛物线的解析式为y=mx²（m＞0）和点F（0，$\frac{1}{4}$），A为抛物线上不同于原点的任意一点，过点A的直线l交抛物线于另一点B，交y轴于点D（点D在F点上方），且有FA=FD．当△ADF为正三角形时，AF=1．
（1）求m的值；
（2）当直线l₁∥l且与抛物线仅交于一点E时，小明通过研究发现直线AE可能过定点，请你说明直线AE可能过定点的猜想过程，并写出猜得的定点坐标．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥y轴于点H，如图，根据等边三角形的性质得HF=DH=$\frac{1}{2}$，AH=$\sqrt{3}$HF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则可得到A点坐标，然后把A点坐标代入y=mx²可求出m的值；
（2）设A（t，t²），利用两点间的距离公式得到AF=t²+$\frac{1}{4}$，则FA=FD=t²+$\frac{1}{4}$，所以D（0，t²+$\frac{1}{2}$），利用待定系数法求出直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2t}$x+t²+$\frac{1}{2}$，利用直线平行的问题可设直线l₁的解析式为y=-$\frac{1}{2t}$x+a，
接着利用方程-$\frac{1}{2t}$x+a=x²有相等的实数解可求出方程的解得到E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$），然后利用待定系数法求出直线AE的解析式为y=（t-$\frac{1}{4t}$）x+$\frac{1}{4}$，最后由于x=0时，y=$\frac{1}{4}$，于是可判断直线AE过定点F（0，$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）作AH⊥y轴于点H，如图，
∵△ADF为正三角形，
∴HF=DH=$\frac{1}{2}$，AH=$\sqrt{3}$HF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$），
把A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$）代入y=mx²得m•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
∴m=1；
（2）直线AE过定点F．理由如下：
设A（t，t²），则AF=$\sqrt{{t}^{2}+（{t}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=t²+$\frac{1}{4}$，
∵FA=FD，
∴FD=t²+$\frac{1}{4}$，
∴D（0，t²+$\frac{1}{2}$），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把D（0，t²+$\frac{1}{2}$），A（t，t²）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2t}}\\{b={t}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2t}$x+t²+$\frac{1}{2}$，
∵l₁∥l，
∴设直线l₁的解析式为y=-$\frac{1}{2t}$x+a，
∵l₁与抛物线仅交于一点E，
∴方程-$\frac{1}{2t}$x+a=x²有相等的实数解，
∴△=0，x₁=x₂=-$\frac{1}{4t}$，
∴E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$），
设直线AE的解析式为y=px+q，
把A（t，t²），E（-$\frac{1}{4t}$，$\frac{1}{16{t}^{2}}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{pt+q={t}^{2}}\\{-\frac{1}{4t}p+q=\frac{1}{16{t}^{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=t-\frac{1}{4t}}\\{q=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=（t-$\frac{1}{4t}$）x+$\frac{1}{4}$，
当x=0时，y=$\frac{1}{4}$，
∴直线AE过定点F（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等边三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能用判别式的值判断抛物线与一次函数的交点个数．