Question

20．如图，抛物线y=-x²+bx+c的顶点为Q，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线上求一点P，使得S_△PAB=S_△ABC，求出点P的坐标：
（3）若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长．”这个同学的说法正确吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，可直接利用交点式求得y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5，继而求得顶点Q的坐标；
（2）首先设点P的纵坐标为a，由S_△PAB=S_△ABC，可得a=±5，然后可得-x²+4x+5=±5，继而求得点P的坐标；
（3）首先设D（t，-t²+4t+5），折线D-E-O的长度为L，则可得L=-t²+4t+5+t，然后求得最大值，即可知这个同学的是否说法正确．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，
∴y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5，
∴抛物线的解析为y=-x²+4x+5；
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴顶点Q的坐标为（2，9）；

（2）在y=-x²+4x+5中，当x=0时，y=5，
∴点C的坐标为：（0，5），
设点P的纵坐标为a，
若S_△PAB=S_△ABC，则|a|=5，
解得a=±5．
当a=5时，-x²+4x+5=5，解得x=0（舍去）或x=4，此时点p的坐标为（4，5）；
当a=-5时，-x²+4x+5=-5，解得x=2±$\sqrt{14}$，此时点p的坐标为（2+$\sqrt{14}$，-5）或（2-$\sqrt{14}$，-5）；
综上，点p的坐标为（4，5）或（2+$\sqrt{14}$，-5）或（2-$\sqrt{14}$，-5）；

（3）这个同学的说法不正确
理由：设D（t，-t²+4t+5），折线D-E-O的长度为L，
则L=-t²+4t+5+t=-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{45}{4}$．
∵a＜0，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，L_最大值=$\frac{45}{4}$．
而当点D与点Q重合时，L=9+2=11＜$\frac{45}{4}$，
∴该同学的说法不正确．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式的知识、三角形面积问题以及二次函数的最值问题．注意掌握分类讨论思想的应用，注意准确表示出折线D-E-O的长度是关键．