题目内容
如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边长，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD和BE交于点P．
（1）判断线段CD和BE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若△ADB和△ACE都是等腰三角形，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接CD和BE交于点P，判断线段CD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，若∠BPD=α，∠ADB=β，请直接写出α与β的数量关系．
（1）判断线段CD和BE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若△ADB和△ACE都是等腰三角形，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接CD和BE交于点P，判断线段CD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，若∠BPD=α，∠ADB=β，请直接写出α与β的数量关系．
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质
专题：
分析：（1）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）先求得∠DAC=∠BAE，然后根据SAS证得△DAC≌△BAE即可；
（3）根据三角形全等得出∠ADC=∠ABE，然后根据三角形外角的性质即可证得；
（2）先求得∠DAC=∠BAE，然后根据SAS证得△DAC≌△BAE即可；
（3）根据三角形全等得出∠ADC=∠ABE，然后根据三角形外角的性质即可证得；
解答：证明：（1）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△AC，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）CD=DE，
理由：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（3）α+2β=180°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BPC=∠PDB+∠DBE=∠PDB+∠ABD+∠ABE=∠PDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=2∠ADB=2β，
∴α+2β=180°．
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
|
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）CD=DE，
理由：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
|
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（3）α+2β=180°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BPC=∠PDB+∠DBE=∠PDB+∠ABD+∠ABE=∠PDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=2∠ADB=2β，
∴α+2β=180°．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DAC≌△BAE，题目是一道比较好的题目，难度适中．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠BC交AD于点E，∠C=60°，∠BED=70°，求∠ABC和∠BAC的度数．
如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．