Question

3．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在AB边上，△BDG与四边形ACDG的周长相等．
（1）求证：BG=AG+AC；
（2）求证：∠BGD=$\frac{1}{2}∠A$；
（3）如图2，连接CG交DE于点H，若BG⊥CG，探索线段DG、DH、AC之间满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据周长相等，列出等式即可证明．
（2）想办法证明FG=FD，得到∠FGD=∠FDG，∠A=∠BFD，由此即可证明．
（3）结论；DG²=AC•DH，：作FM⊥DG于M，只要证明△DFM∽△DGH，得到$\frac{DF}{DG}$=$\frac{DM}{DH}$，用DF=$\frac{1}{2}$AC．DM=$\frac{1}{2}$DG代入即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+DG+BG=BG+AG+AC+CD，
∵BD=DC，
∴BG=AG+AC．
（2）证明：∵BF=AF，BD=DC，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠BFD=∠A，
∵BG=AG+AC，
∴BG=AB-BG+AC，
∴2BG=AB+AC，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$AC，
∴BG=BF+DF=BF+FG，
∴DF=FG，
∴∠FGD=∠FDG，
∵∠BFD=∠FGD+∠FDG=2∠FGD，
∴∠A=2∠FGD，
∴∠FGD=$\frac{1}{2}$∠A．
（3）结论：DG²=AC•DH，理由：
证明：作FM⊥DG于M，
∵FD=FG（已证），
∴∠FGD=∠FDG，DM=GM，
∵BD=DC，AE=EC，
∴DE∥AB，
∴∠FGD=∠GDH，
∴∠FDM=∠GDH，
∵∠FMD=∠GHD=90°，
∴△DFM∽△DGH，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{DM}{DH}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC}{DG}$=$\frac{\frac{1}{2}DG}{DH}$，
∴DG²=AC•DH．
补充方法：△FGD∽△DGB得到DG²=FG•BG，FG=$\frac{1}{2}$AC，BG=2DH得DG²=AC•DH．

点评 本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．