Question

8．如图，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．

Answer 1

分析 （1）根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”进行证明即可；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，利用矩形的对角线相互平分的性质、勾股定理求得OD的长度；然后利用面积法可以求得DF的长度，所以通过解Rt△ODF得到答案．

解答 （1）证明：由已知得BD∥CE，BD=CE．
∵CD垂直平分AB，
∴AD=BD，∠CDA=90°．
∵结合平移的性质得到：AD∥CE，AD=CE．
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：过D作DF⊥AC于F，
在Rt△ADC中，∠CDA=90°，
∵CD=1，AD=2，
由勾股定理可得：AC=$\sqrt{5}$．
∵O为AC中点，
∴OD=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∵AC•DF=AD•DC，
∴DF=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△ODF中，∠OFD=90°，
∴sin∠COD=$\frac{DF}{OD}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，矩形的性质以及平移的性质．解答（2）时，辅助线的作法和求法是解题的难点．