Question

11．如图，在矩形ABCD中，E为CD边上的点，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AD边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△DFE．
（2）若AB=3，AF=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠C=90°，求得∠BFE=∠C=90°，根据余角的性质得到∠ABF=∠DFE，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由勾股定理得到BF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，求得DF=AD-AF=1，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-90°=90°，∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：∵BF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AD=BC=BF=5，
∴DF=AD-AF=1，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AF}{DE}$，即$\frac{3}{1}=\frac{4}{DE}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，翻折变换-折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．