Question

17．配方法是一种常用的数学方法，用配方法将6-2$\sqrt{5}$写成平方形式的方法是：6-2$\sqrt{5}$=5+1-2$\sqrt{5}$=（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{1}$）²-2$\sqrt{5}$=（$\sqrt{5}$-1）²．利用这个方法解决：
（1）5+2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）²，5-2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）²；
（2）化简$\sqrt{11-2\sqrt{30}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}$；
（3）当1≤x≤2时，化简$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$．

Answer 1

分析 （1）把5拆为（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²，然后利用完全平方公式进行解答；
（2）把11拆为（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{6}$）²，把7拆为（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{5}$）²，然后利用完全平方公式进行解答；
（3）先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．

解答 解：（1）：5+2$\sqrt{6}$=2+3+2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）²．
5-2$\sqrt{6}$=2+3-2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²-2$\sqrt{6}$=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）²．
故答案是：$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$；$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$；

（2）$\sqrt{11-2\sqrt{30}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}$，
=$\sqrt{（\sqrt{5}-\sqrt{6}）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{2}-\sqrt{5}）^{2}}$，
=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，
=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；

（3）∵1≤x≤2，
∴$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$，
=$\sqrt{（\sqrt{x-1}+1）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{x-1}-1）^{2}}$，
=$\sqrt{x-1}$+1+1-$\sqrt{x-1}$，
=2．

点评 本题考查了配方法的应用，二次根式的化简求值．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．