Question

已知抛物线y=x²+（2m+1）x+m²+1与x轴的两个交点分别为A（x₁，0）、B（x₂，0），点A在点B左侧，抛物线与y轴的交点为C．
（1）用含m的代数式表示OA+OB-OC的值；
（2）若OC=OA=2OB，求出此时抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）首先得出△=4m-3＞0，即可得出m的取值范围，进而利用根与系数的关系用含m的代数式表示OA+OB-OC的值；
（2）利用OA=2OB，则x₁=2x₂，进而得出关于m的方程求出m的值，进而分类讨论得出答案．

解答：解：（1）△=4m-3＞0，
解得：m＞

3

4

，
x₁+x₂=-2（2m+1）①，
x₁x₂=m²+1＞0②，
而当m＞

3

4

时，x₁+x₂＜0，
∴x₁、x₂均为负数，点A与B在x轴负半轴上，
∵点C的坐标为（0，m²+1），m²+1＞0，
∴点C在y轴正半轴上．
∴OA=-x₁，OB=-x₂，OC=m²+1，
∴OA+OB-OC=-x₁-x₂-（m²+1）=2m+1-（m²+1）=-m²+2m，

（2）∵OA=2OB，
∴x₁=2x₂③
把③代入①，得x₁=-

2(2m+1)

3

，x₂=-

2m+1

3

，
把以上两式代入②，整理，
得m²-8m+7=0，
解得：m₁=1，m₂=7，
当m=1时，y=x²+3x+2，
A（-2，0），B（-1，0），C（0，2），
∴OA=2，OC=2，OC=OA成立，
当m=7时，y=x²+15x+50，
A（-10，0），B（-5，0），C（0，50），
∴OA=10，OC=50，OC≠OA，
∴当OC=OA=2OB时，y=x²+3x+2．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及根与系数的关系等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．