Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．

（1）求证：∠A＝∠CBD．

（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BM＝，理由见解析．

【解析】

（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；

（2）如图，连接OD，DM，先计算出BD＝8，OA＝5，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中点M，连接DM、OD，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．

（1）∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD+∠ABD＝90°，

∴∠A＝∠CBD；

（2）BM＝．

理由如下：

如图，连接OD，DM，

∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，

∴BD＝＝8，OA＝5，

∵∠A＝∠CBD，

∵Rt△CBD∽Rt△BAD，

∴＝，即＝，解得BC＝

取BC的中点M，连接DM、OD，如图，

∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，

∴DM＝BM，

∵∠2＝∠4，

∵OB＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，

∴OD⊥DM，

∴DM为⊙O的切线，

此时BM＝BC＝．