Question

16．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度 AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪CD后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）

Answer 1

分析 作C′M⊥AB于M，MC′的延长线与DC的延长线交于N，作CG⊥AB于G，D′F⊥CD于F，设AM为xm，解Rt△AC′M与Rt△DD′F，用含x的代数式表示出AG、CG，然后根据△ACG是等腰直角三角形得出AG=CG，依此列出方程，解方程即可求出AM，结合图形计算即可．

解答 解：如图，作C′M⊥AB于M，MC′的延长线与DC的延长线交于N，作CG⊥AB于G，D′F⊥CD于F，设AM为xm，
∵在Rt△AC′M中，∠AC′M=60°，
∴C′M=$\frac{\sqrt{3}}{3}$xm．
∵在Rt△DD′F中，∠DD′F=30°，DD′=20m，
∴DF=$\frac{1}{2}$DD′=10m，D′F=10$\sqrt{3}$m，
∴C′N=D′F=10$\sqrt{3}$m，MN=MC′+C′N=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$，
∴CG=MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$．
∵CN=CF+FN=CF+C′D′=CF+CD=DF=10，
∴AG=AM+MG=AM+CN=x+10．
∵在Rt△ACG中，∠ACG=45°，
∴AG=CG，
∴x+10=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+10$\sqrt{3}$，
解得，x=10$\sqrt{3}$，
则该建筑物的高度AB=AM+MG+GB=AM+CN+CD=10$\sqrt{3}$+10+1.5=10$\sqrt{3}$+11.5．
答：该建筑物的高度AB为（10$\sqrt{3}$+11.5）m．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．