Question

如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）BE与EF相等吗？并说明理由；
（2）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
（3）求

AF

FC

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；
（3）求出

AF

CF

=

AH

CP

，求出AH、CP的长，代入即可求出答案．

解答：解：（1）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；

（2）小李的发现是正确的，
理由是：延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，

∠PCF=∠PBG PC=BP ∠CPF=∠BPG

∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中

∠CAB=∠CAG AC=AC ∠BCA=∠GCA

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=

1

2

BG，
∴CF=2AB；

（3）连接OA交BP于H，
∵A为弧BP的中点，
∴OA⊥BP，
∵∠BPC=90°，
∴OA∥CP，
∴△AHF∽△CPF，
∴

AF

CF

=

AH

CP

，
设OA=r，BC=2r，
∵BP=CP，∠BPC=90°，
∴PC=

2

r，
∵OA∥CP，BO=OC，
∴OH=

1

2

CP=

2

2

r，AH=r-

2

2

r，
∴

AF

CF

=

2 -1

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．