题目内容
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′D′的一个顶点．A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F．延长A′O交CD于点G，延长C′O交AD于点H．如果这两个正方形的边长相等，那么，试证明：（1）四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积相等；
（2）正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一．
考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）在△OBF和△ODH中根据ASA定理得出△OBF≌△ODH，同理可得△OEB≌△OGD，△OCG≌△OAE，△OFC≌△OHA，△OBF≌△OCG，△OEB≌△OFC，由此可得出结论；
（2）根据（1）中四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等即可得出结论．
（2）根据（1）中四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等即可得出结论．
解答：（1）证明：在△OBF和△ODH中，
，
∴△OBF≌△ODH （ASA）．
同理可证，△OEB≌△OGD，△OCG≌△OAE，△OFC≌△OHA．
在△OBF和△OCG中，
∵∠BOF+∠FOC=∠COG+∠FOC=90°，
∴∠BOF=∠COG，
又∵OB=OC，∠OBF=∠OCG=45°，
在△OBF与△OCG中，
，
∴△OBF≌△OCG（ASA）．
同理可证，△OEB≌△OFC．
∴△OBF≌△OCG≌△ODH≌△OAE，△OEB≌△OFC≌△OGD≌△OHA．
∴四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等；
（2）证明：∵四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等，
∴正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，即四边形OEBF的面积总等于正方形ABCD面积的四分之一．
|
∴△OBF≌△ODH （ASA）．
同理可证，△OEB≌△OGD，△OCG≌△OAE，△OFC≌△OHA．
在△OBF和△OCG中，
∵∠BOF+∠FOC=∠COG+∠FOC=90°，
∴∠BOF=∠COG，
又∵OB=OC，∠OBF=∠OCG=45°，
在△OBF与△OCG中，
|
∴△OBF≌△OCG（ASA）．
同理可证，△OEB≌△OFC．
∴△OBF≌△OCG≌△ODH≌△OAE，△OEB≌△OFC≌△OGD≌△OHA．
∴四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等；
（2）证明：∵四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE这四个四边形的面积都相等，
∴正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，即四边形OEBF的面积总等于正方形ABCD面积的四分之一．
点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的四条边都相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
网格图中每个方格都是边长为1的正方形，若A，B，C都是格点
如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．