Question

已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=

4

5

，D为边AC上的动点（不与A、C重合），过D作DE∥BC，交边AB于点E，过D作DF⊥BC，垂足为F，联结BD，设CD=x．
（1）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；
（2）如果△BDF的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，那么当x为何值时，S₁=2S₂；
（3）如果以D为圆心，DC为半径的⊙D与以E为圆心，AE为半径的⊙E相切，求线段DC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）表示面积需要知道梯形的上下底和高，本题已给出了部分边长和sinC=

4

5

，不难推出DF、BF、ED的长，进而S易表示．
（2）已知面积关系，若能得到S₁、S₂各自关于x的表达式，则可得到方程，求出x即可．在求△BDE的面积时，如果做BD上的高，求解起来不是很容易，类似问题我们应该首先将三边的高都在图中作出，观察选择哪个高易求，如图1，ED边的高就等于DF，所以可选择作ED边上的高．
（3）两圆相切，即外切或内切．外切：圆心距=两圆半径的和；内切：圆心距=两圆半径的差（此时我们常用绝对值来表示）．同理前两问，只需将AE，ED，DC三边表示出来，再套用这两种情况即可．

解答：解：（1）在Rt△CDF中，
∵sinC=

4

5

，CD=x，
∴DF=CD•sinC=

4

5

x，CF=

CD2-DF2

=

3

5

x．
∴BF=18-

3

5

x．
∵DE∥BC，
∴

ED

BC

=

AD

AC

．
∴ED=

BC•AD

AC

=

18•(15-x)

15

=18-

6

5

x．
∴S=

1

2

•DF•(ED+BF)=

1

2

•

4

5

x•(18-

6

5

x+18-

3

5

x)=-

18

25

x2+

72

5

x，0＜x＜15．

（2）如图1，过点B作BG⊥DE的延长线与D，则BG为△DBE的高，

∵DE∥BC，
∴BG=FE，
∴△DBF与△DBE等高，
∴S₁：S₂=BF：ED，
∵S₁=2S₂，
∴BF=2ED，
∴18-

3

5

x=2•(18-

6

5

x)，
解得，x=10，即当x=10时，S₁=2S₂．

（3）如图2，过A作AH⊥BC，垂足为H．

在Rt△AHC中，
∵AC=15，sinC=

4

5

，
∴CH=9．
∵BC=18，
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH，
∴AB=AC=15．
∵DE∥BC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=AD=15-x．
由题意，R_⊙D=DC=x，R_⊙E=AE=15-x，DE=

6

5

(15-x)．
①当⊙D与⊙E外切时，
∵DE=R_⊙D+R_⊙E，
∴

6

5

(15-x)=x+15-x
解得，x=

5

2

．
②当⊙D与⊙E内切时，
∵DE=|R_⊙D-R_⊙E|，
∴

6

5

(15-x)=|x-15+x|
解得，x1=

165

16

，x2=-

15

4

（负值舍去）．
综上所述，两圆相切时，线段DC的长为

5

2

或

165

16

．

点评：本题考查了三角函数、平行线分线段关系及两圆的位置关系内容．注意相切不仅仅表示外切，内切也要考虑其中，并且式子中可以巧妙的利用绝对值符号来表示两半径的差．总体来说，本题思路清晰，考查常规是一道质量非常高的题目，请加强理解与掌握．