Question

9．如图，点A为双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点，AC⊥x轴于C，过C的直线l交双曲线于B，∠BCO=30°，BC=2$\sqrt{3}$，点A横坐标为-1．
（1）求k的值；
（2）连接AB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥x轴于点D．由“AC⊥x轴于C，点A横坐标为-1”可知C点的坐标为（-1，0），在Rt△BDC中，通过∠BCD的正余弦值可求出点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数中即可求出k的值；
（2）利用（1）中的k值得出反比例函数的解析式，将x=-1代入其中求出点A的坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．

∵AC⊥x轴于C，点A横坐标为-1，
∴点C的坐标为（-1，0）．
在Rt△BDC中，∠BCO=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴BD=BC•sin∠BCD=$\sqrt{3}$，CD=BC•cos∠BCD=3，OD=CD-OC=2，
∴点B的坐标为（2，$\sqrt{3}$）．
将点B（2，$\sqrt{3}$）代入到双曲线y=$\frac{k}{x}$中得：
$\sqrt{3}$=$\frac{k}{2}$，解得：k=2$\sqrt{3}$．
（2）依照题意画出图形，如图2所示．

反比例函数的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
令x=-1，则y=$\frac{2\sqrt{3}}{-1}$=-2$\sqrt{3}$，
即点A的坐标为（-1，-2$\sqrt{3}$）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×[$\sqrt{3}$-（-2$\sqrt{3}$）]=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出B点的坐标；（2）由A、B点的坐标结合三角形的面积公式求出△ABC的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角三角形找出点的坐标再利用待定系数法求函数解析式是关键．