Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，CB边的垂直平分线交BC边于点D，交AB边于点E，点F在DE的延长线上．连接AF、CE．且AF=BE
（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2，连接BF，若∠ABC=30°，四边形ACEF的面积为2$\sqrt{3}$．求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；
（2）利用菱形的判定与性质得出FD，BD的长，进而利用勾股定理求出答案．

解答 （1）证明：如图1，∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC，
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF，
∴∠F=∠5=∠1=∠2，
∴∠FAE=∠AEC，
∴AF∥EC，
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：如图2，E作EG⊥AC于点G，

∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，∠ECB=30°，
∴∠ACE=60°，
∴△AEC是等边三角形，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形，
∵四边形ACEF的面积为2$\sqrt{3}$，
∴△AEC的面积是$\sqrt{3}$，
设AC=2x，则GC=x，EG=$\sqrt{3}$x，
故$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$x×2x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1，
故DC=EG=$\sqrt{3}$，ED=GC=1，
则BD=$\sqrt{3}$，
故EF+ED=FD=3，BD=$\sqrt{3}$，
则BF=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，正确得出△AEC是等边三角形是解题关键．