Question

18．有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1～98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球．已知紫悦从甲箱内拿出m颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40，若此时甲箱内剩有a颗球的号码小于40，b颗球的号码大于40．
（1）当m=49时，求a、b之值，并问甲箱内球的号码的中位数能否为40？说明理由；
（2）当甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据乙箱内球的号码的中位数确定小于、大于40各有多少，求a、b的值，根据40号球在乙箱内，甲箱内有49颗球，不可能有40号球判断甲箱内球的号码的中位数能否为40；
（2）设在甲箱内球的号码小于x的数量和在乙箱内球的号码小于x数量，列式计算即可．

解答 解：（1）甲箱98-49=49（颗），
∵乙箱中位数40，
∴小于、大于40各有（49-1）÷2=24（颗），
∴甲箱中小于40的球有a=39-24=15（颗），
大于40的有b=49-15=34（颗），
甲箱内球的号码的中位数不能为40，
∵a≠b，（40号球在乙箱内，甲箱内有49颗球，不可能有40号球）
∴甲箱内球的号码的中位数不能为40．    （5分）
（2）由（1）可知：当甲、乙箱内球的号码的中位数相同时，甲、乙箱内球的数量应该都是偶数．设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗，则大于x的数量也是c颗；设在乙箱内球的号码小于x数量是d颗，则大于x数量也是d颗，于是在全部98颗球中，号码小于x数量是（c+d）颗，大于x数量也是（c+d）颗，即1～98的中位数是x．
∴x=$\frac{1}{2}$（49+50）=49.5．

点评 本题的是中位数的知识，掌握中位数的概念：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）是解题的关键．