Question

8．如图，D为⊙O上一点，点C在直线BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，连接OE，求四边形OEDA的面积．

Answer 1

分析 （1）要证明CD是⊙O的切线，只需要连接OD，证明∠ODC=90°即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后进行转化即可得到∠ODC=90°，本题得以解决；
（2）根据题意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根据BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的长，从而可以求得BA的长，进而可以得到⊙O的半径；
（3）由题意可得，∠EBC=90°，可以证明△EBC和△ODC相似，从而可以求得EB的长，然后根据四边形OEDA的面积等于△EBC的面积减去△EBO的面积再减去△DAC的面积，从而可以得到四边形OEDA的面积，本题得以解决．

解答 （1）证明：连接OD，如右图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CBD+∠OAD=180°-∠BDA=90°，
∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CDA=90°，
∴∠ODC=90°，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，
∴△CDA∽△CBD，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}=\frac{DA}{BD}$，
又∵BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，
∴tan∠CBD=$\frac{DA}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}=\frac{DA}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{8}=\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$，
解得，CD=4，CA=2，
∴BA=CB-CA=8-2=6，
∴OB=3，
即⊙O的半径是3cm；
（3）作DF⊥BC于点F，如右上图所示
由已知可得，∠ODC=∠EBC=90°，∠DCO=∠BCE，
∴△DCO∽△BCE，
∴$\frac{OD}{EB}=\frac{CD}{CB}$，
∵OD=3，CD=4，CB=8，
∴EB=6，
又∵CO=CB-OB=8-3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90°，DF⊥OC，
∴$\frac{CO•DF}{2}=\frac{OD•CD}{2}$，
解得DF=2.4，
∴S_{四边形OEDA}=S_△EBC-S_△EBO-S_△DAC=$\frac{BC•EB}{2}-\frac{EB•OB}{2}-\frac{CA•DF}{2}$=$\frac{8×6}{2}-\frac{6×3}{2}-\frac{2×2.4}{2}=12.6c{m}^{2}$，
即四边形OEDA的面积是12.6cm²．

点评 本题考查切线的判定、锐角三角函数、相似三角形的性质、切线的性质、面积法中割补法的应用，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，运用数形结合的思想解答问题．