Question

20．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第一象限交于点C，若AB=BC，AB=2OA=2．
（1）求点C的坐标；
（2）写出反比例函数的解析式；
（3）若点P是x轴上的一点，当△ACP是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出点A，B坐标进一步求出直线AB，根据相似三角形性质即可求出点C；
（2）把点C代入反比例函数求m即可；
（3）分∠APC=90°和∠ACP=90°分别求解即可．

解答 解：（1）如图1

过点C作CD⊥x轴，
∴CD∥OB，
∴△AOB∽△ADC，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{OB}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，
由AB=2OA=2，可求0A=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∵AB=BC，
∴可求CD=$2\sqrt{3}$，AD=2，OD=1，
∴C（1，$2\sqrt{3}$），
（2）把C（1，$2\sqrt{3}$）代入y=$\frac{m}{x}$，
解得m=$2\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为：$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$；
（3）当∠APC=90°时，由C（1，$2\sqrt{3}$）易得点P（1，0）；
当∠ACP=90°时，如图2

易求cos∠BAO=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACP中，AC=4，$\frac{AC}{AP}$=cos∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴AP=8，
∴OP=7，
∴点P（7，0）．

点评 此题主要考查直线和反比例函数的图象问题，会运用点求函数解析式，会运用相似求线段长度，会根据条件分类讨论是解题的关键．